Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии на плоскости .
Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии (рис.1).
В общем случае уравнение линии может быть записано в виде F(x,y)=0 или y=f(x).
Пример. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек А(-4;2), B(-2;-6).
Решение. Если M(x;y) – произвольная точка искомой линии (рис.2), то имеем AM=BM или
После преобразований получим
Очевидно, что это уравнение прямой MD – перпендикуляра, восстановленного из середины отрезка AB .
Из всех линий на плоскости особое значение имеет прямая линия . Она является графиком линейной функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике линейных экономико-математических моделях.
Различные виды уравнения прямой:
1)с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b :
y = kx + b ,
где – угол между прямой и положительным направлением оси ОХ (рис. 3).
Особые случаи:
– прямая проходит через начало координат (рис.4):
– биссектриса первого и третьего, второго и четвертого координатных углов:
y=+x, y=-x;
– прямая параллельна оси ОХ и сама ось ОХ (рис. 5):
y=b, y=0;
– прямая параллельна оси OY и сама ось ОY (рис. 6):
x=a, x=0;
2) проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом) k через данную точку (рис. 7):
.
Если в приведенном уравнении k – произвольное число, то уравнение определяет пучок прямых , проходящих через точку , кроме прямой , параллельной оси Oy.
Пример А(3,-2) :
а) под углом к оси ОХ;
б) параллельно оси OY.
Решение .
а) , y-(-2)=-1(x-3) или y=-x+1;
б) х=3.
3) проходящей через две данные точки (рис. 8):
.
Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-5,4), В(3,-2).
Решение . ,
4) уравнение прямой в отрезках (рис.9):
где a, b – отрезки, отсекаемые на осях соответственно Ox и Oy.
Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-1) , если эта прямая отсекает от положительной полуоси Oy отрезок, вдвое больший, чем от положительной полуоси Ox (рис. 10).
Решение . По условию b=2a , тогда . Подставим координаты точки А(2,-1):
Откуда a=1,5.
Окончательно получим:
Или y=-2x+3.
5) общее уравнение прямой:
Ax+By+C=0,
где a и b не равны одновременно нулю.
Некоторые важные характеристики прямых :
1) расстояние d от точки до прямой:
.
2) угол между прямыми и соответственно:
и .
3) условие параллельности прямых:
или .
4) условие перпендикулярности прямых:
или .
Пример 1 . Составить уравнение двух прямых, проходящих через точку А(5,1) , одна из которых параллельна прямой 3x+2y-7=0 , а другая перпендикулярна той же прямой. Найти расстояние между параллельными прямыми.
Решение . Рисунок 11.
1) уравнение параллельной прямой Ax+By+C=0 :
из условия параллельности ;
взяв коэффициент пропорциональности, равный 1, получим А=3, В=2;
т.о. 3x+2y+C=0;
значение С найдем, подставив координаты т. А(5,1),
3*5+2*1+С=0, откуда С=-17;
уравнение параллельной прямой – 3x+2y-17=0.
2) уравнение перпендикулярной прямой из условия перпендикулярности будет иметь вид 2x-3y+C=0;
подставив координаты т. А(5,1) , получим 2*5-3*1+С=0 , откуда С=-7;
уравнение перпендикулярной прямой – 2x-3y-7=0.
3) расстояние между параллельными прямыми можно найти как расстояние от т. А(5,1) до дано прямой 3x+2y-7=0:
.
Пример 2 . Даны уравнения сторон треугольника:
3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).
Составить уравнение биссектрисы угла АВС .
Решение . Вначале найдем координаты вершины В треугольника:
,
откуда x=-8, y=0,
т.е. В(-8,0)
(рис. 12).
По свойству биссектрисы расстояния от каждой точки M(x,y) , биссектрисы BD до сторон АВ и ВС равны, т.е.
,
Получаем два уравнения
x+7y+8=0, 7x-y+56=0.
Из рисунка 12 угловой коэффициент искомой прямой отрицательный (угол с Ох тупой), следовательно, нам подходит первое уравнение x+7y+8=0 или y=-1/7x-8/7.
Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.
Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t .
Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.
Уравнение прямой на плоскости.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат
А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу
А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.
Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.
Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ¹ х 2 и х = х 1 , еслих 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор (a 1 , a 2), компоненты которого удовлетворяют условию Аa 1 + Вa 2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям.
10.1. Основные понятия
Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние - R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).
Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел - ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).
Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Переменные x и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.
Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.
Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(x 0 ; у 0) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.
Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F 1 (x 1 ;y 1) = 0 и F 2 (x 2 ;y} = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.
Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.
Уравнение F(r; φ)=О называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.
Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:
где x и у - координаты произвольной точки М(х; у), лежащей на данной линии, а t - переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.
Например, если x = t + 1, у = t 2 , то значению параметра t = 1 соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к. x = 1 + 1 = 3, у = 22 - 4.
Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим , а уравнения (10.1) - параметрическими уравнениями линии.
Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F(x;y) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t.
Например, от уравнений путем подстановки t = х
во второе уравнение, легко получить уравнение у = х 2 ; или у-х 2 = 0, т. е. вида F(x; у) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегда возможен.
Линию на плоскости можно задать векторным уравнением r =r (t) , где t - скалярный переменный параметр. Каждому значению t 0 соответствует определенный вектор r =r (t) плоскости. При изменении параметра t конец вектора r =r (t) опишет некоторую линию (см. рис. 31).
Векторному уравнению линии r =r (t) в системе координат Оху соответствуют два скалярных уравнения (10.1), т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения. I Векторное уравнение и параметрические уравнения I линии имеют механический смысл. Если точка перемеща- I ется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия - траекторией точки, параметр t при этом есть время. Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x; у) = 0.
Всякому уравнению вида F(x; у) = 0 соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению (х-2) 2 +(у-3 ) 2 =0 соответствует не линия, а точка (2; 3); уравнению х 2 + у 2 + 5 = 0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).
В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение) вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.
На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.
10.2. Уравнения прямой на плоскости
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды её уравнений.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом a между осью Ох и прямой (см. рис. 41).
проходящей через эти точки: |
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
||||||||
− x |
− y |
− z |
|||||||||
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается: y − y 1 = y 2 − y 1 (x − x 1 ) , если x 2 − x 1
x 1 ≠ x 2 и x = x 1 , если x 1 = x 2 .
Дробь y 2 − y 1 = k называется угловым коэффициентом прямой. x 2 − x 1
5. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Если общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 привести к виду:
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
6. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор а (α 1 ,α 2 ) , компоненты которого удовлетворяют условию A α 1 + B α 2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ax + By + C = 0 .
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором а (1,-1) и проходящей через точку А(1,2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0 . В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям: 1A + (− 1) B = 0 , т.е. A = B . Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0 , или x + y + C / A = 0 . при х=1, у=2 получаем С/A=-3, т.е. искомое уравнение: x + y − 3 = 0
7. Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой Ax + By + C = 0,C ≠ 0 , то, разделив на –С,
получим: − |
х− |
у = 1 или |
1, где a = − |
b = − |
|||||||||
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
8. Нормальное уравнение прямой
называется нормирующем множителем, то получим x cosϕ + y sinϕ − p = 0 – нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ C < 0 .
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а ϕ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох
9. Угол между прямыми на плоскости
Определение. Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между
Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны, если k 1 = − 1/ k 2 .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
Определение. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 ,у1 ) и перпендикулярная к прямой y = kx + b представляется уравнением:
y − y = − |
(x − x ) |
|||||||||||
10. Расстояние от точки до прямой |
||||||||||||
Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ax + By + C = 0 |
||||||||||||
определяется как d = |
Ax0 + By0 + C |
|||||||||||
Пример. Определить угол между прямыми: y = − 3x + 7, y = 2x + 1. |
||||||||||||
k = − 3, k |
2 tg ϕ = |
2 − (− 3) |
1;ϕ = π / 4. |
|||||||||
1− (− 3)2 |
||||||||||||
Пример. Показать, |
что прямые 3 x − 5 y + 7 = 0 и 10 x + 6 y − 3 = 0 |
|||||||||||
перпендикулярны. |
Находим: k 1 = 3/ 5, k 2 = − 5 / 3, k 1 k 2 = − 1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример. Даны вершины треугольника А(0 ; 1) , B (6 ; 5) , C (1 2 ; - 1) .
Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С. |
|||||||||||
Находим уравнение стороны AB : |
x − 0 |
y − 1 |
y − 1 |
; 4x = 6 y − 6 |
|||||||
6 − 0 |
5 − 1 |
||||||||||
2 x − 3 y + 3 = 0; y = 2 3 x + 1.
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + bk = − 3 2 Тогда
y = − 3 2 x + b . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: − 1 = − 3 2 12 + b , откуда b=17. Итого: y = − 3 2 x + 17 .
Ответ: 3x + 2 y − 34 = 0 .
Эта статья является продолжением раздела прямая на плоскости . Здесь мы перейдем к алгебраическому описанию прямой линии с помощью уравнения прямой.
Материал данной статьи является ответом на вопросы: «Какое уравнение называют уравнением прямой и какой вид имеет уравнение прямой на плоскости»?
Навигация по странице.
Уравнение прямой на плоскости - определение.
Пусть на плоскости зафиксирована Oxy и в ней задана прямая линия.
Прямая, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В фиксированной прямоугольной системе координат каждая точка прямой имеет свои координаты – абсциссу и ординату. Так вот зависимость между абсциссой и ординатой каждой точки прямой в фиксированной системе координат, может быть задана уравнением, которое называют уравнением прямой на плоскости.
Другими словами, уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy есть некоторое уравнение с двумя переменными x и y , которое обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки этой прямой.
Осталось разобраться с вопросом, какой вид имеет уравнение прямой на плоскости. Ответ на него содержится в следующем пункте статьи. Забегая вперед, отметим, что существуют различные формы записи уравнения прямой, что объясняется спецификой решаемых задач и способом задания прямой линии на плоскости . Итак, приступим к обзору основных видов уравнения прямой линии на плоскости.
Общее уравнение прямой.
Вид уравнения прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает следующая теорема.
Теорема.
Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и y вида , где А , В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и всякая прямая на плоскости задается уравнением вида .
Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.
Поясним смысл теоремы.
Заданному уравнению вида соответствует прямая на плоскости в данной системе координат, а прямой линии на плоскости в данной системе координат соответствует уравнение прямой вида .
Посмотрите на чертеж.
С одной стороны можно сказать, что эта линия определяется общим уравнением прямой вида , так как координаты любой точки изображенной прямой удовлетворяют этому уравнению. С другой стороны, множество точек плоскости, определяемых уравнением , дают нам прямую линию, приведенную на чертеже.
Общее уравнение прямой называется полным , если все числа А , В и С отличны от нуля, в противном случае общее уравнение прямой называется неполным . Неполное уравнение прямой вида определяют прямую, проходящую через начало координат. При А=0 уравнение задает прямую, параллельную оси абсцисс Ox , а при В=0 – параллельную оси ординат Oy .
Таким образом, любую прямую на плоскости в заданной прямоугольной системе координат Oxy можно описать с помощью общего уравнения прямой при некотором наборе значений чисел А , В и С .
Нормальный вектор прямой , заданной общим уравнением прямой вида , имеет координаты .
Все уравнения прямых, которые приведены в следующих пунктах этой статьи, могут быть получены из общего уравнения прямой, а также могут быть обратно приведены к общему уравнению прямой.
Рекомендуем к дальнейшему изучению статью . Там доказана теорема, сформулированная в начале этого пункта статьи, приведены графические иллюстрации, подробно разобраны решения примеров на составление общего уравнения прямой, показан переход от общего уравнения прямой к уравнениям другого вида и обратно, а также рассмотрены другие характерные задачи.
Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой вида , где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках . Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами и , и с помощью линейки соединить их прямой линией.
Для примера построим прямую линию, заданную уравнением в отрезках вида . Отмечаем точки и соединяем их.
Детальную информацию об этом виде уравнения прямой на плоскости Вы можете получить в статье .
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой вида , где x и y - переменные, а k и b – некоторые действительные числа, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (k – угловой коэффициент). Уравнения прямой с угловым коэффициентом нам хорошо известны из курса алгебры средней школы. Такой вид уравнения прямой очень удобен для исследования, так как переменная y представляет собой явную функцию аргумента x.
Определение углового коэффициента прямой дается через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox .
Определение.
Углом наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс в данной прямоугольной декартовой системе координат Oxy называют угол , отсчитываемый от положительного направления оси Ох до данной прямой против хода часовой стрелки.
Если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то угол ее наклона считают равным нулю.
Определение.
Угловой коэффициент прямой есть тангенс угла наклона этой прямой, то есть, .
Если прямая параллельна оси ординат, то угловой коэффициент обращается в бесконечность (в этом случае также говорят, что угловой коэффициент не существует). Другими словами, мы не можем написать уравнение прямой с угловым коэффициентом для прямой, параллельной оси Oy или совпадающей с ней.
Заметим, что прямая, определяемая уравнением , проходит через точку на оси ординат.
Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом определяет на плоскости прямую, проходящую через точку и образующую угол с положительным направлением оси абсцисс, причем .
В качестве примера изобразим прямую, определяемую уравнением вида . Эта прямая проходит через точку и имеет наклон радиан (60 градусов) к положительному направлению оси Ox . Ее угловой коэффициент равен .
Отметим, что очень удобно искать именно в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом.
Каноническое уравнение прямой на плоскости.
Каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю.
Очевидно, что прямая линия, определяемая каноническим уравнением прямой, проходит через точку . В свою очередь числа и , стоящие в знаменателях дробей, представляют собой координаты направляющего вектора этой прямой. Таким образом, каноническое уравнение прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости соответствует прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .
Для примера изобразим на плоскости прямую линию, соответствующую каноническому уравнению прямой вида . Очевидно, что точка принадлежит прямой, а вектор является направляющим вектором этой прямой.
Каноническое уравнение прямой вида используют даже тогда, когда одно из чисел или равно нулю. В этом случае запись считают условной (так как содержится ноль в знаменателе) и ее следует понимать как . Если , то каноническое уравнение принимает вид и определяет прямую, параллельную оси ординат (или совпадающую с ней). Если , то каноническое уравнение прямой принимает вид и определяет прямую, параллельную оси абсцисс (или совпадающую с ней).
Детальная информация об уравнении прямой в каноническом виде, а также подробные решения характерных примеров и задач собраны в статье .
Параметрические уравнения прямой на плоскости.
Параметрические уравнения прямой на плоскости имеют вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю, а - параметр, принимающий любые действительные значения.
Параметрические уравнения прямой устанавливают неявную зависимость между абсциссами и ординатами точек прямой линии с помощью параметра (отсюда и название этого вида уравнений прямой).
Пара чисел , которые вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра , представляет собой координаты некоторой точки прямой. К примеру, при имеем , то есть, точка с координатами лежит на прямой.
Следует отметить, что коэффициенты и при параметре в параметрических уравнениях прямой являются координатами направляющего вектора этой прямой.
Дети